ユークリッド幾何学 Euclidean geometry

紀元前3世紀にユークリッドによって編纂された「原論」は幾何学の一形態でありユークリッド幾何学といわれている。その学問は、数学において重要な役を演じ様々な学問にも影響を与え我々文明の基礎を作り上げてきた。

「原論」は全１３巻に及ぶ。最後の巻に行くに従いこの幾何学の目的が正多面体の解明に向けられていたことが分かる。後世２巻が追加され多面体の性質を展開させて見せたが、その後紀元前後から中世にかけての進展は中断され、いまだ未完成にある。正多面体、いわゆるプラトン立体の中には宇宙生成に関わる法則が含まれるとして古代より研究が続けられてきた。これらが今日神聖幾何学として知られているものである。

２世紀前にユークリッド幾何学の矛盾に気付くほど人類が進化し、非ユークリッド幾何が打ち立てられた。この幾何学は前者に対して対立するだけではなく包括する意味をも含んでいる。

原論に追加された２巻はプラトン立体から派生する形態の体系化を示しており、その方向からは新たな進展は見られない。だが、非ユークリッド的発想からすれば新たな展開が用意されている。この展開から宇宙生成に関わる秘密もより明確になるであろう。

Euclid

 ”Elements” , that compiled by the Euclid in the third century at B.C. is one form of geometry and it is said the Euclidean geometry. It is performed an important post in mathematics, and  has made up the base of our civilization by it's influence on the other fields.

”Elements”  consists of 13 all volumes. It is understood that the geometrical purpose was turned to the clarification of the regular polyhedra while going to the last volume.　After B.C., 2 volumes were added to this book , the character of the polyhedron was developed. However, the progress remained being interrupted for 1,000 years spent in the Middle Ages afterwards. And it is still incompletely.

The law related to the space generation is included in the regular polyhedra, known as the Platonic solids, and the research has been continued from ancient times. It is the one known as sacred geometry today.

 

The human race evolved by the awareness of the contradiction of the Euclidean geometry before the second century, and thenon-Euclidean geometry was built up. This geometry is not only for the formeropposition also includes a rather comprehensive meaning.

Two volumes added to ”Elements” show the systematization of the form that derives from the Plato solid. And, a new, geometrical progress is not seen from the direction. However, new development is prepared from non-Euclid conception. The secret related to the space generation from this development will also become clearer.

多次元幾何学構造(Multi-dimensional geometric structures)その３

いずれにせよ核の新たなるＶｉｓｉｏｎが試される。
核は立体ではない、中空状のエネルギーで保たれている。
点の存在には慣れているが、その更に中心の概念には慣れていない。
この中心を変えることはすべてをも変えてしまうからだ。

最も単純な平面で捉えてみよう。
平面の上の点は二本では囲めないので三本のラインで描いたとしよう。
すると面にならない様にせねばならない。要するに三本のラインは空間上で交わらない、上空から見ると交差している状態だ。

中心を中心にして三本のラインが交差し、てその囲まれた空間がある種のエネルギーで回転している。もちろんこの解釈に近いのが量子の世界だ。
この空間は、それらのラインによって成り立ているとはいえない。それはこちら側の幻想であって、むしろこの回転する空間が3本のラインを引き寄せられている。

さて、ここまでは平面の世界を非ユークリッド化して示した。多次元構造の現実的世界はより流動的であり、これが立体に展開していくと、多次元多軸体構造(Multi-dimensional Polyaxses Structures) へと変容を遂げていく。

多次元幾何学構造(Multi-dimensional geometric structures)その２

通常の次元は直行3座軸をさし、３Ｄ（dimension)といっている。

これは立体と思われているが、実は平面の延長で、その積み重ねにすぎない。

実際の立体といった、いわゆる中身が詰まった空間概念などない。誰もそれ以上に考えたくない、考えるに値しない内容だと思われている。

多次元幾何学構造とは、多くの座標軸でもって成り立つ構造である。幾何と名付けてあるのは、任意も含め規則性が含まれているからである。

この多数の座標軸の集まる中心はコア（核）というが、球状で示される。だが、実際は平面の円の積み重ねではない、。ユークリッド幾何の下においてはそうせざるをえないのだ。

そうしてみると多次元の構造で知られている双曲面が現われてくる。

これなどは、非ユークリドと関係があるが、いまは飛ばそう。

それから当然今日では一般的になりつつあるゾーン多面体(Zohnohedron))を形成するゾーン幾何学(Zome-geometry)、これは多次元幾何学構造の代表格のようなものだ。
これらの構造を見ていくと、その多様性に驚かされる。どうして人類は今だ３Ｄにこだわり続けるのか。それとも知らないまま数世紀におよんで知の創出が停滞していたのだろうか。
1960年代、様々な試みが建築を通して行なわれてきたが、このゾーン幾何学もその内の一つであった。

ドームパーゴラ(Domed Pergola）Ⅲの完成

あれから1週間が経ち、その間豊橋も大雪。久々に暖かくなり、晴れ。

パーゴラの脚にベンチを取り付けに行った。

 とおり行く人は足早に過ぎ去っていく。風が吹き体感温度が低い。
駅前大通でさえシャッターを閉めているお店がちらほら。今日は日曜日なのになぜかひっそりしている。
すでに消費文化としての都市の役割は終わっている。色々なイベントや盛り上がり策も一時的なドリンク剤だったようだ。消費が郊外に移行した後、資本主義が崩壊し、目的の見えない抜け殻のような都心が残っている。

 こんなところでアートをやる意味は何だろうか・・・
地球が今何を求めているか、人々は今後の急激な変化にどう対応していくのだろうか。

見上げると、パーゴラの頂上部は五角形の星型に組まれている。
上空には黄昏時になれば金星が現われる。Venusは美の女神であり、金星を示しており、その象徴は古代より五芒星となっている。

多次元幾何学構造（Multi-dimensional geometric structures）その１

テンセグリティーについては、模型を参照にその変容を述べてきた。それによって幾何学的体系の観点からすれば、多軸体(Poly-axes)の範疇におさまることが理解されたと思う。

先月はこの構造を使ってドームパーゴラを作ったが、詳しく言えば、その構造さえも変容させている。
幾何学的用語で言えば、ゾーン多軸体構造というが、この構造について言えることは、私個人の恣意的な幾何研究の成果ではなく、それは普遍的な幾何形態の発見にあるといえよう。
包括的には、次元の観点からいうと３次元構造をも含むことから、多次元幾何学構造といってもよい。

ここで、専門的な幾何用語を用いず、努めて具体的にその概要を述べてみたい。
そもそも多次元幾何学構造とは何かについて。

Domed PergolaⅢ－組立construct

いよいよ組立の段階に来た。

今回の設置場所は豊橋駅南口にある小広場。

この設置はアートイベントとなる。

この場でとよはしアートユニット（市民団体）主催のアート展がなわれるが、このパーゴラはその展示作品として参加した。

期間は2月5日～2月24日までの約3週間。

当日作業開始は1時半から。

今回もある程度の困難を予想している。一箇所でも躓けば作業は明日に持ち越されてしまう。

一人でいかに効率よく行うことができるか。ひとつの挑戦であり、実験でもある。

 先ず、長尺コンパスで敷地面にマーキング。支柱が置かれる位置にテープで印をつける。

支柱の一対を組立、あらかじめ用意しておいた「固定具」で直立を保つ。支柱との固定は自在クランプで簡易に締め付けておく。

 二組立ち上げたらその組をつなげる支持材を組んでも良い。今回「固定具」は念のため三つ組用意しておいたが、二組でいけそうである。もし2人作業の場合なら、一組は必要だろう。3人作業ならば、この「固定具」は必要ない。

支柱の対それぞれを互いにつなげていく為の支持材を組む。この作業は唯一難儀をしてしまった。支柱のてっぺんの支持材とかみ合ってロックするので組みにくい。

このてっぺんの支持材は後から組付けるべきだった。

次にドーム上部の菱形２辺にあたる支持材２本をつなげる。入の字の順序で組む。

当初心配していたこの組み付けは難なく行なうことができた。

材が軽量であり、ネジの強固な締め付けで材の一本立ちが可能だったからである。

そうでなければ材の接合部を仮結束で固定して、反対の端部を何らかの方法で持上げておかなければならない。

一応そのための策は用意しておいたが、今回はそれをまったく必要としなかった。

上部の組み付けは高所作業であり若干のひずみにより作業が困難を極めるかと思っていたが、面白いようにすんなり組みつけができ、気が付いたら写真に収めるのを忘れていた。

だから後は最後に出来上がった写真しかない。

高さは３．５ｍほどでちょうどよい高さになった。

終わったのは６時ごろで中間に30分ほど休憩を入れたので、前工程作業約４時間の作業であった。

暖かく、風もない一日であったが、日が落ちると急激に冷え込む。明日に持ち越さずに良かった。

今回の作業を通して、ドームパーゴラとしての商品化は充分可能であることが分かった。それは施工の他、キット化やマニュアルとしての商品化も含めてのことだ。
その根拠として、以下の点が挙げられる。

• 前回の丸棒と違って、容易に材料を安価に入手することができる。
• 加工もホームセンターで購入できる一般的なDIYの道具や工作機械でできる。
• 前回の丸棒の骨組みと異なり、比較的容易に、かつ短時間で組立ができる。

あと、多少の難点としては、ノコギリの手作業で正確に仕口（接続口）の切込みを行なうくらいだ。
ここは、ジグソウなど使っても歯がぶれてしまうので上達するしかない。

今回、アート作品として野外に出すのには充分な大きさとなった。
早速サイトでも販売することにしよう。

今日あらゆる分野にアートが浸透していっている。その所以は、独立個人の人たちが増え、創造性が湧き上がっているからだろう。それと同時に既成概念が崩れてカテゴリーの崩壊が始まっている。
本来アートは生きていることそのもの。あらゆる分野とつながっている。以前は宗教・建築･土着の祭りや行事に組み込まれてアートとは言わなかった時代がある。だが、分離された時代を通してアートとは何ぞやに人類は目覚めた。さりとて、その歴史は高々２百年そこそこ。これからが新たなアートによる時代が始まろうとしている。精神世界で言うところのアクエリアス・統合の時代へといやおうなく進化していくことだろう。

Domed PergolaⅢ－加工作業（冶具による穴あけ）

最後の作業は孔を穿つ。

一気に穴あけするため、材をクランプで固定して、ドリルで１０mm穴を次々と空ける。

できれば固定ドリルに一本ごとに穴をあけていったほうが確実に垂直の穴を通すことができる。

そうでなければ、下の写真で示すように角度調整のできる道具を利用すべきだ。

それでも多少のブレが生じ、裏側の穴の位置はセンターからはずれているものがあった。通し穴は材に対して垂直に。

角度調整のできる道具で垂直にドリルを降ろすことができる。

６mmの木工ドリルで１３ｃｍの深さまで入れる。

通し穴に対する支持材の接合部には下穴を空けておく。

これは通してはならない。１２．５ｍｍのコーチスクリューの先３５mmが下穴に入る。

おおよそ４０mmほどの下穴を空けておく。M10サイズのネジ溝内径は７mmだが、６mmの木工ドリルで穴を空けておくのがちょうど良い。そのほうが硬く締まる。

あらかじめ作っておいたジグ（上の写真）、それを通して穴をあけることで正確な挿入角度が決まる。そのジグは、通し穴の材の接合箇所を短くしたものである。

ぶれてはならないのでジグの接合部はあらかじめ溝を入れて、容易に位置決めができるようにしておきたい。

この材は支柱

穴を空ける前に、相手方の接面の中央に穴が来ているか確認をすること。ここではやり直しが効かない。