テンセグリティの構造原理 第三章 量子幾何学（虚空の幾何学）

 幾何学とは空間をどのように把握するかの学問で、それによって世界観や宇宙観が異なってきます。

「なぜユークリッド幾何学では量子を説明できないのか？」

従来の幾何学は物質を見る世界には都合よく、そこで留まっていました。科学の世界観も同様でした。
しかし今日では、量子力学※１の発展によって、物質の成り立ちまで解明され、それが宇宙の成り立ちにまで波及し、世界観はミクロからマクロな宇宙まで広がっています。

当然、今後は空間の概念やイメージは変化し、新たな空間把握にふさわしい幾何学が必要になってくるでしょう。

そこで新たな幾何学を語るにあたって、先ず根源的課題について触れておかねばなりません。それは量子力学における虚無空間をどう把握するかにかかっています。

ユークリッド幾何学では、まず「単独の点」が存在することを前提に成り立っています。

しかし、ミクロの量子世界では、最も小さな粒子クォーク※１は単独の点として観測されません、言い換えれば存在することができません。
2から3っの粒子が結合して初めて姿を現し、その要因が何も無い空間から来ているのです。

 したがって、これを幾何学として成り立たせるには、「クオークが相互に依存して初めて要素（無点）が定義され、その中心の『無』の空間こそが強大なエネルギーを宿す」という概念を盛り込んだ新たな幾何学モデルが必要となるわけです。

これからお話しするその新たな幾何学は、従来の幾何学とは全く異なるルールで展開していきます。

要素	ユークリッド幾何学（従来モデル）	量子幾何学：虚空の幾何学（提案モデル）
基本単位	静的な点 （位置の自己完結）	動的な交差（3つのループの交差による出現）
結合・構造	2点を結ぶ 直線	相互に依存し流動する クォーク線（結合）
中心領域	境界に囲まれた 面（二次元の広がり）	力を宿しハドロンを形成する 『無』の空間（虚空の渦）

それでは以下、図を参照に具体的に述べていきましょう。

図Aでは従来の幾何学でいうところの線が３本存在し、ループを描きながら中心で交差しています。その箇所は交点となり、点が存在しています。また中心の三角形は平面と認識し、これがルールとなっています。

一方、図Bは量子力学に準じた幾何学的解釈です。クオークの粒子が織りなすループが交差しています。クオークは単独では視覚化されず、最少２～３個の粒子がグリューオンと名付けられた強い力で引き寄せ合うことで結合し、初めてハドロンという物質をなしてきます。
そこで、視覚化できる最小単位の粒子（クオーク）をこの幾何学の構成要素とし、線状もしくは軸状に認識したものを、クオーク線またはクオーク軸と呼びます。場合によってはこの線が太くなって立体状に変容するならば、それをクオーク体と呼び、これを最初のルールとします。

従来の幾何学では、形をなす源が『点』でした。それが線になり平面となり立体となって形を見せていました。ところが新たな幾何学ではこの『点』という物質性の概念を無くなります。それにより、クオークが交差する点もあり得ないため、交点は存在しません。また、クオークの交差は最少３本で構成します。これが２番目のルールとなります。

さらに、交差する領域は『点』が無い、すなわちクオーク以外の視覚に捉えることができない『虚空』※2の空間となります。そして、これが３番目のルールとなります。

４番目のルールとして、各クオークの流れは、必ず互い違いに交差し格子構造を形成し、互いに引き寄せ合うという規則性があります。

５番目のルールとして、クオークが交差した箇所には視覚可されない『対流』が生じます。これは交差する箇所に強い力がかかって互いに引き寄せ合っているからです。

分かりやすい例で、３本のクオークが結合する中心には視覚には捉えることのない『渦』が生じます。あるいは元々『虚空』の空間に『渦』があるからこそクオークが引き寄せられるかもしれません。いずれにせよ『虚空』である領域に渦の流れが生じる訳で、これを『虚空の渦』と名付け認識します。

なお、『虚空』となった空間においてはクオーク線が３本以上交差して立体状の渦を形成することがあります。その状態は第６章の「プラトン立体を虚空の幾何学で再構築する」の項で述べることにしましょう。

以下、量子幾何学の五つルールを整理しておきます。

１．クオークをこの幾何学の構成要素とし、線状もしくは軸状に認識したものを、クオーク線またはクオーク軸と呼ぶ。線が太くなって立体状に変容するならば、それをクオーク体と呼ぶ。

２．クオークが交差する箇所ではクオークが互いに交わって一体となることはない。また、クオークの交差は最少３本で構成する。

３．クオーク以外を『虚空』※2の空間とみなす。

４．各クオークの流れは、必ず互い違いに交差し格子構造を形成し、互いに引き寄せ合うという規則性を有する。

５．クオークが交差した箇所には視覚可されない『対流』が生じ、複数のクオークが交差する箇所には『虚空の渦』が生じる。

※１　量子力学では物質を形作る最小単位の素粒子をクォークと呼んでいます。クォークはそれ以上分割できない「素粒子」で、それを構成するさらに小さな実体は無いとされています。そのクォークは宇宙に存在するすべての物質（私たち人間や身の回りのものを含め）の根源となっています。また、クォークは単独で存在できず、必ず2〜3個が結びついて陽子や中性子などの複合粒子（ハドロン）を形成します。

※2　虚空（こくう）とは、何もない空間の他、何も妨げるものがなく、すべてのものの存在する場所。アーカーシャ（Ākāśa）の漢訳　

現代量子力学では、クオークよりも小さな世界は、無いものとされ、いまだ明確には解明さていません。しかも名称化もされていないため、ここではこの無の領域を、古代ギリシャ哲学における天界や宇宙を満たしているとされる「第五元素」エーテルにちなんでエーテル界とでも呼んでおきましょう。東洋でいえば気の領域で、仏教的解釈でいえば『虚空』と呼ばれる領域です。

「22を超えてゆけ」を読んで（その１）

日本人でスピリチュアル系幾何学の本を本格的に著している人はこの辻麻理子さんくらいだろう。

今年収穫した柿を切ったところ、
クロップサークルに現れた幾何学図形（後ろのスケッチ）とシンクロしていた。

私はといえば、1990年代中ごろから取組んでかれこれ25年ほど経つ。当初はまだ[神聖幾何学」という言葉も一般化されていなかった。
私が直感的にこの分野に入っていった経緯は、端的に言えば従来の空間認識では漠然とした限界を感じていたからだ。

この限界とは、我々の視覚や空間認識を司ってきた信念体系からは高次の世界観を得ることは、ある意味不可能・無駄な努力・徒労・エネルギーの浪費を感じていたからに他ならない。

一通り従来の神聖幾何学をマスターすると、私は当時世界の各地で一部の幾何学者が取組んでいた幾何学思考に取り付かれていった。

その幾何思考は従来我々の知る幾何体系とはまったく異なる定義や公理が存在しているが、私はそれをあのユークリド幾何のごとく緻密に明文化することにはまったく興味が無く（たぶんそんな作業は誰がやっても退屈だと思う）むしろ、その仕組みを解明するためひたすら分析と試作に明け暮れていた。

そうこうするうちに、私はこの思考にはある一定の規則性や原理があることが分かってきた。
一見、複雑で暗号的幾何図形や記号が騒然としている中で、ある一本の道筋が通っていることに私は気付いた。

その視点からすれば、従来のユークリッド的神聖幾何学ではある種の限界があることも分かってきた。
つまりユークリッド幾何で出来上がった神聖立体はどこまで行っても3次元（物質領域）の枠組みで、そこを超えた次元を垣間見ることは出来ないことに気付いたのである。

「・・・これらの五つの立体から、多くの物質は造られているのです。あなたがこれらの立体をマスターすれば、ほとんどの物は物質化出来るようになるでしょう」
本文116ｐより抜粋

Domed PergolaⅢ－幾何解析作業

この間、幾何解析作業を行なっていた。
解析に模型はかかせない。数値とビジョンだけでは立体を読み取れない。
必要とする模型は、核となる多面体・その外郭を形成する充填型の多軸体である。
必要ならば部分模型もつくる。

充填型の多軸体とは、初めて使う呼び名だが、以前は角柱状多軸体といっていた。
この新たな呼び名の方がよりふさわしいのではないかと思っている。なお、この多軸体についての詳しい内容は以下のサイトページを参照していただきたい。
http://www.hiroshi-murata.com/home/geometry/geometrical-traceformation/polyaxes

すでにパーゴラの模型は以前制作済みなので、設計の方はかなり楽になるだろう。

解析図面、多軸体模型、接続部分模型、パーゴラ模型、その中に核模型が隠れて見える。

ジオデシック多軸体の試作

多軸体の設計には、その前提としてゾーン多面体（菱形多面体）Zohnohedronを知らなければなりません。これはゾーン幾何学として体系化されており、G.W.Hart氏のサイトで詳しく述べられています。
前世紀後半には体系化されましたが、それ以前は断片的に研究されたり、取り上げられたり、応用されていたりしました。ジオデシック幾何に関心のある方でも、なかなかゾーム（Zome)との関係にまで入っていく方は極めてまれかもしれません。
このゾームを開発したＳｔｅｖｅ　Ｂａｅｒ（ステーブ・ベイヤー）はゾーンの重要性にいち早く気付いた方です。これは人為的にシステム化されているというよりは、むしろ自然法則の一部を人間が見つけたといってよいかと思います。システムから導かれる形態のは多様性に富、ジオデシックとは比べることができません。両者はまったく異なる発想です。

しかし、今回の多軸体の試作には両者のシステムを融合して用いることにしました。
そもそもゾーン多面体は正確には球に内接や外接していません。その外殻はなんとなく球形ですが、若干凸凹となっています。
構成面数が多くなればそれだけ球に接して形態を形成しえますが、今回比較的少ない面数で構成するゾーン多面体を選びました。要するに面数に対応して軸数も同様に決まるためです。
軸数90本程度で構成する多軸体は、ゾーン多面体を核にして設計すると外殻が凸凹になってしまうと同時に多角形の構成で空間の格差が大きくなります（図を参照）。

これをデザインに応用する場合その目的にもよります。
今回はコネクタなしで安価に仕上げる予定です。それから目的として、格子（グリット）の大きさをそろえ、特に六角形のグリットを大きくしたいのです。意匠的に球形にして滑らかな輪郭にしたいと思っているのです。
そのため幾何学的な解析をかなり試さねばなりません。

幾何解析の手順は大変長いストーリーになり、設計者の私でもほとんど退屈になるのでここでは省きます。
短く端的に言うと、ゾーン多面体を球に内接させます。すると平面では当然成り立たない角度が出てきますが、これが後々軸が傾斜して交差する角度を生みます。

球に内接する度合いは無限にあり、具体的に上の図で示すと、五角形をなす五つ菱形の内角の総和が限りなく３６０度になる設定も可能です。この操作によって軸の太さや長さを自由に設定することが可能となるのです。

実際の試作をこれから画像で示していきましょう。
以下の三つ多軸体は前述の幾何解析によって設計したものです。
軸を延長させて自立できるようにしてあります。それぞれ位置が異なっており、色々試行錯誤して目的に合う位置を検討している様子です。

この位置では支持する軸が本体の真下内側に入り込んでいます。

軸が非対称となっています。

目的とする構成にいまひとつ追いついていない。

結局、グリットと軸関係、支持軸の構成など気に入らない点が多かったため、この設定はやめ、新たな設定を試みることにしました。

地上に降りる無限大

幾何の続きに入る前に、このへんでまとめておきたいことがあります。

今後、他に関連する内容に入ってしまうことがあるからです。

第三の建築へ至るには幾つかの道があります。

• 一つにはここまで述べてきた幾何学、
• その具現化である構造、
• そしてそれに生命感を与える造形芸術、

以上の三つに集約できます。

建築装飾や造形といった意匠に関しては、その背後で支える骨組みとなる構造が基になっています。
また、幾何学とは構造の背後にひかえる普遍的な法則と言っても良いでしょう。

たとえて言えば、私たちの肉体を支えているのは骨格という構造であり、その構成やつくりは自然の叡智とでも言うべきある種の法則が関与しています。
知性を伴なう肉体にはそれにふさわしい肉付き、容姿が与えられ、さらに文化に応じて様々な衣装をまとっています。

この人間の要素には、さらに魂や霊といった高次の段階が存在しています。

それも重要な要素ですが、それについては先の三つ道のなかで語ることができればと願っています。

道の記述は必ずしも順番どうりでなく、そのつど関連し合い、バランスを取りながらすすめていきたいと思います。そうすることで互いに各道を補いながら理解を促していけるのではないかと思う。

　前々回の続きで、無限大を扱おうと思います。
この形は主に宇宙のレベルで主に存在しています。しかし地上の空間では重力という法則もあるのだろうし、形が変化し、私たちの身の回りにその変容した姿で表れています。

私は以前、オイリュトミーに出会う機会を得た際、このことを知らされました。

図の上から示せば、無限大がの交差する箇所が徐々に下がって形が変化していきます。

この交差する箇所こそ何かエネルギーのようなものを引き寄せ、生命が地上に宿るような気がしてなりません。

実際に描くと、交差する箇所がほとんど線になっきます。しかしそれは平面状のことです。立体という表現は硬すぎますが、流動する空間といったほうが良いかもしれません。
そのなかでは摩擦を生じる様な交差がおきています。

地上に降り立つ形は天使の羽根のようです。あるいは果物の断面、肺・胸部の断面などに似ています。

これを種に見立ててみましょう。
右の図のように、インゲン豆の胚乳が楕円を描いており、二つの胚乳は中央で実際につながっています。

しかし、このつながりを物理的に観察するのは困難です。
直感的には、無限大の交差する箇所が回転するような動きを感します。

この動きは生命エネルギー・気あるいはエーテルとも言われているものです。この回転する動きは渦状に上昇して胚という形態に変容していきます。

重力に左右され胚は閉じたままですが、徐々に上昇エネルギーを増し、左右に開く双葉を形成します。
こうして最初のシンメトリーが生じます。左右が同じ鏡像を描くことをそういいます。しかし、幾何学の視点から左右の双葉は左右対称の図形ではなく、一つの流れ、回転し上昇する無限大の変容した形なのです。

植物はスパイラル状に枝葉を伸ばし、最後にはそのエネルギーを花という状態で水平方向へと放出します。

メビウスの橋と無限大の穴

さて、ここで重要な矛盾が見えてくる。

通常の無限大は、平面に描かれた線で表される。これがユークリッド幾何を通した目に見える形だ。

だが、その成り立ちには、先に示したメビウスの輪の要素が入り込むことで成り立っているともいえる。

前回、メビウスの橋をトポロジー的に限りなく細くしていくことそれをで示してきた。

この発想でユークリッド幾何を分析すると、矛盾は以下のようにいえるだろう。

平面に描かれた無限大は実は二つの穴であって、その穴をつないでいる輪郭の交点はねじれている。そして平面はこのねじれの交点を界に裏側にと通じている。

もちろん、実際紙に描かれた無限大はそうなっていない。いや、物理学の世界では成り立つのかもしれない。

それはさておき、思考の世界でこの、ユークリッド幾何学の矛盾をそれ自身の世界観・観点で暴くことできた。しかし、それ自身でユークリッド幾何外の世界観を解き明かそうとするのは限界のようだ。

過去、このような課題に取り組む人たちを随分見てきた。

例えば、ロシア構成主義の創始者であり美術家、彫刻家のナウム・ガボ。その作品には試行錯誤と練磨の跡が見て取れる。

絵画ではもちろん、Ｍ・Ｃ・エッシャーが先頭に立ち、日本人では彫刻家の堀内正和が挑戦している。

　

メビウスの輪の変容（反転）

　前回、メビウスの輪と無限大の記号との関係について述べたが、その内容は言葉のイメージでは伝わりにくいと感じた。

そこで、今日は絵図でメビウスの輪の変容を示してみたいと思う。

　メビウスの輪の面半分をテーブルの面に沿って広げていった状態である。それは右の絵図の上から２段目で示している。

作り方はその上の絵図が示すように、紙に縦長のＨを書き、それに切込みを入れ、その中央の紙辺を起こし、その端を互い違いに(a-a')貼り合わせればよい。

多少全体がゆがむが、実際の現物の方がより具体的に見えるので試作をお勧めしたい。

幾何学の比較的新しい考え方でトポロジーといった分野がある。面の要素が同じで、そのかたちを変化させることで、その中の不変の要素を導くことができる。

この面の要素を永遠に広げていけばメビウスの輪の反転を示すことになる。

　既にかなり変容を行なってきたが、さらに現物を元に直感を使ってトポロジーによる変容を行なってみよう。

３段目の絵図はお分かりになるだろうか、切込みを入れたＨの線を曲線に変化させてみた図である。このイメージは紙では無理なので、曲面を生む材料でできている、例えばプラスチックやゴムシートのようなものを想像していただきたい。

このように見ると、その中央の橋がねじれ、表裏の空間が曲線を描きながらスムーズに一体となっている様が理解できるであろう。さらに、トポロジー的にその中央の橋をよりｽﾘﾑにしていけば無限大へと戻る。

無限大とメビウスの輪

　無限大は一本の線で表わされている。これをねじるとは、すなわち極限まで太さのない線をねじることを意味している。

この場合、以下のようにも説明できる。

「線の内側と表側が入れ替わっている、それも目に見えない極微の世界で。」

これを説明するには、やはりメビウスの輪の登場だ。

オランダの画家エッシャーはユークリッド幾何学から導かれる世界観の矛盾を絵画で示している。だまし絵として知られているが、実は彼の絵画はある真実の入り口を示している。我々の感覚が麻痺しているため、つい絵画にだまされるような感覚を覚える。

平面の世界で蟻は、その表も裏も一続きに歩いている。

本来、人が手を加えなければ一枚の紙の表裏が一体になることなどはありえない。

　以前、実験的にこのねじれた面を延長させて広げてみたことがある。限りなく広げテーブルいっぱいに面を拡張した。するとある不可能なことが分かってきた。

どこまで広げていっても一つの穴を埋めることができない。

しかもその穴の入り口の面はねじれており、裏と表側がつながっている。これはイメージも膨らませ、さらに地球全体をその平面で埋め尽くしていっても不可能だろう。最後に地球の反対側まで面を広げていたとしたら、究極的に小さな穴ができる。その穴が幾何学的に閉じるかどうか問題ではない。

むしろ、球という立体の内部と外部は一体であるという事実が浮かび上がってきた。

すなわち、球に限らず、あらゆるユークリッド的立体はその外部と内部がどのように密閉されていようと極微の世界において微小な穴を通じてつながっている、という思考の事実が現実化してきたのである。

内側と思っていた空間が外側でもある。この思考の事実はエッシャーの絵によく描かれている。

無限大の記号がねじれているのはこの内外空間の事実を示しているのではないかと思う。

プラトン立体

　この立体については、様々な情報があふれており、その範囲はスピリチュアルやミステリーの方面まで広がっている。

よって、ここでは実験で確かめられた結果を主に伝えようと思っている。

　確かに、ミステリーに富んでいる。ユークリッド幾何学は１１巻からようや立体や正多面体について語り始め、１３巻で未完で終わっている。未完というよりはそれ以上の情報がなかったのかもしれない。無理やりしめっくくっている。ユークリッド自らが解明に挑んだわけでなく編纂者であったのだから。

後に続く１４・１５巻はプラトン立体の性質から導かれる立体を分析した内容で、その中にはアルキメデス立体が含まれている。取り立てて新しい理論の展開は見られない。

　私は、思うにこのプラトン立体のミステリアスな部分は、はたしてユークリッド幾何的な解釈だけで探求できるものか疑問なのである。というのは、ユークリッド幾何自体、この世界である空間を示す幾つもある言語の内の一つのであるからだ。しかもベーシックとはいえ、矛盾にあふれている。どうして今まで人類はこんな言語でのみ文明を築いてきたのだろうか。いや待てよ、ローマが征服する前のケルト民族や日本のアイヌ民族などを始め、非ヨーロッパ文明の他の民族や文明はどうだっただろうか。

その視点から眺めれば、解明の手がかりは見えてくるのではないだろうか。

これからの展開

　大別ではあるが、三つの構造様式について大雑把に述べた。

そして、歴史的な背景を幾何学という軸で手短に語ってきた。

ここからはそれをより詳しく具体的にしよう。

　幾何学とは、形と空間の言語である、という。

新たな構造様式を語っていくには、その根っ子を掘り下げ、本質的なところから始めていきたい。

そこで、幾何学的な内容を努めてわかりやすい言葉やイメージで表わしていこうと思う。

表層を断片的に繋ぎ合わせるよりは明確となるだろう。

多少時系列で構成するのもよいだろう。

以下、おおよその項目を立ててみた。

これに沿って話していこう。

1. 神聖幾何学の中心に位置するプラトン立体（正多面体）の目的
2. 相反する軸体
3. これをなぜ軸体で構成するのか
4. 正多軸体は揺らいでいる
5. その揺らぎの形成過程におけるニュートラルな状態
6. そのニュートラルな状態から導かれる特殊な座標軸構成
7. 多軸体もしくは物質・エネルギー・光の織りなす構成
8. その構成を決める核としての形態
9. ゾーン多面体とは何か、その前にゾーンとは何か
10. フラーの肩の上に乗る
11. 球面の中心を分割するには
12. 核となるゾーン多面体
13. その外殻に存在する、エネルギーとしての連鎖（Ｎｅｘｕｓ）
14. ゾーン多軸体
15. 第三の構造充填タイプ
16. ドーム建築とは
17. ドーム建築の課題
18. 充填タイプの建築への技術転用
19. 第三のドーム
20. 建築様式の挿入
21. 建築装飾
22. 造形美

以上、多少題目に変更はあるだろうがストーリーの流れはできている。

美術について語るには一番最後になりそうだ。